Фамилия Старунський (в русской передаче — Старунский) звучит как типичная фамилия с польским или украинским суффиксом -ський/-ский. Такая модель указывает на дворянское или шляхетское происхождение, но в реальности носителями фамилий на -ский часто становились и крестьяне, и мещане, особенно на западнорусских землях. Основа здесь — топоним, то есть название места, от которого образована фамилия по принципу «кто оттуда родом».

Самая очевидная версия — происхождение от названия населённого пункта Старуня. Такое село есть в Ивано-Франковской области Украины (историческая Галичина). Если предки носили прозвище «старун» или «старунка», то это могло быть связано со словом «старый» — не обязательно по возрасту, а, например, по давности поселения или по статусу «старожила». В польском языке есть слово «starun» (старец, старожил), но оно редкое. В украинских говорах «старун» могло означать и просто пожилого человека, и того, кто жил на одном месте дольше других.

Корень «стар-» в фамилии Старунський не стоит путать с русским «старун» (от «старый») — это скорее западнославянская или украинская огласовка. Фамилия могла возникнуть и как прозвище человека, который выглядел старше своих лет, или же как указание на его хозяйственную нерасторопность (в ироничном смысле). Но топонимическая версия убедительнее: в Речи Посполитой было принято давать фамилии по названию имения или деревни, особенно если семья владела землёй или арендовала её.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что Старунський — не массовая фамилия, а локальная. Встречается она преимущественно на западе Украины, в Польше и среди потомков эмигрантов. В России фамилия почти не фиксируется, что подтверждает её польско-украинские корни. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходят из Галичины или Волыни, и их родовая история связана с конкретным селом Старуня или похожим по звучанию местом.