Фамилия Старжинсакая — редкий случай, когда ошибка в написании закрепилась настолько, что стала самостоятельным вариантом. Верная форма, от которой всё пошло — Старжинская, с суффиксом -ск- и окончанием -ая. Но именно вариант через «а» после «н» («СтаржинсАкая») встречается в документах и записях, особенно у носителей из Беларуси и западных областей России. Скорее всего, это результат описки или неверной записи в паспортном столе, которую потом не исправляли.

Корень фамилии — «Старжин-». Он восходит к топониму: название населённого пункта вроде Старжино, Старжин или Старжинск. Такие названия характерны для польско-белорусского пограничья и связаны со словом «старжить» (сторожить, охранять) или с личным именем Старж (Starz), которое в старопольском языке означало «старец», «старший» или даже «вожак». То есть предок носителя фамилии мог быть либо выходцем из места, где жили стражи, либо потомком человека по прозвищу Старж.

Суффикс -ск- типичен для шляхетских и дворянских фамилий Речи Посполитой. В Российской империи такие фамилии часто давали при крещении или при записи в мещанское сословие, если человек переселялся из деревни в город. Однако Старжинсакая не обязательно дворянская — она могла возникнуть у крестьян, переехавших из деревни Старжинцы в уездный город, где их записали по месту выхода.

Однокоренные фамилии — Старжинский, Старжинский, Старжинец. Встречаются они преимущественно в Гродненской, Минской и Брестской областях Беларуси, а также в Подляшье (Польша). Если искать предков, стоит обратить внимание на метрические книги католических и униатских приходов XIX века — там фамилия почти наверняка писалась через «и» и с одним «с»: Starżyński.

Итог: фамилия Старжинсакая — это искажённая форма от Старжинской, означающая «родом из места Старжин» или «потомок Старжа». Носители, скорее всего, происходят из западных губерний бывшей Российской империи, а их предки были либо сторожами, либо уважаемыми старцами в своей общине.