Фамилия Стремилова напрямую связана с древнерусским глаголом «стремить». В словаре Даля у этого слова широкий спектр значений: «устремлять, влечь, тащить, тянуть, увлекать; рвать, двигать и направлять; обращать». От этого глагола образовалось прозвище Стремило, которое и легло в основу фамилии.

Прозвище Стремило вряд ли было связано с какой-то одной чертой характера. Скорее всего, так называли человека порывистого, который быстро увлекался новыми идеями, или же, наоборот, того, кто умел направлять других, вести за собой. Вспыльчивость и энергичность — качества, которые в равной степени могли отразиться в этом прозвище. Интересно, что слово «стремление» в старину также означало «усердие, рвение», поэтому прозвище могло носить и положительный оттенок, описывая деятельного и целеустремленного человека.

Модель образования фамилии проста и типична для русского ономастикона. Суффикс -ов (в женском роде -ова) присоединялся к прозвищу отца, чтобы обозначить принадлежность потомку. Сын человека по прозвищу Стремило становился Стремиловым, а его дочь или жена — Стремиловой. Такой способ словообразования был самым распространенным в XV–XVII веках, когда фамилии только начинали закрепляться за крестьянскими и посадскими родами.

Стоит обратить внимание на редкий для современных фамилий суффикс -ил-. В русских прозвищах он встречается нечасто, но всегда придает основе выразительность. Сравните с однокоренными фамилиями, которые не сохранились в таком виде: Стремилов, Стремительный. Последняя, кстати, могла бы возникнуть от прилагательного, но не возникла — закрепился именно вариант с прозвищем. Это делает фамилию Стремилова не только звучной, но и морфологически уникальной: она сохранила архаичную форму, которая в живой речи давно вышла из употребления.

Встречается фамилия преимущественно в центральных регионах России, где были распространены говоры с активным использованием глагола «стремить». В южных и сибирских говорах это слово употреблялось реже, поэтому и фамилия там менее типична. Знатных родов с такой фамилией история не сохранила — это, скорее всего, фамилия крестьянского или мещанского происхождения, что типично для прозвищ, образованных от характеристики человека, а не от его профессии или места жительства.