Фамилия Стрешная — одна из тех, где написание подсказывает ответ быстрее, чем разбор корня. Форма на -ая, а не на -ов или -ин, сразу выдает её происхождение: это не отчество, а притяжательное прилагательное, которое в старину отвечало на вопрос «чей?» — «Стрешная» значило «принадлежащая Стрешному» или «из семьи Стрешных». Такая модель типична для северных и сибирских говоров, где фамилии на -ых/-их (Стрешных, Стрешные) со временем могли перейти в форму на -ая/-ой под влиянием канцелярского учёта.

Корень «стреш-» в русских говорах имеет два основных значения. Первое — «страх», «страшный», от древнерусского «стрѣхъ». В этом случае Стрешная — потомок человека, которого прозвали Стреха или Стрешной за пугливый нрав или, наоборот, за устрашающий вид (диалектная черта: «стрешный» — страшный). Второе значение — «стреха», то есть нижний край крыши, свес. Прозвище Стреха давали либо кровельщику, либо человеку, жившему под одной стрехой — в переносном смысле «сосед». Оба варианта возможны, но первый, от «страх», встречается в письменных источниках чаще: в новгородских и псковских грамотах XV–XVI веков упоминаются крестьяне с прозвищем Стреха, что созвучно «страху».

В сословном отношении фамилия Стрешная — это, скорее всего, крестьянская или посадская. Дворянские роды с таким окончанием редки (обычно они заканчивались на -ский/-ской), а форма на -ая в XIX веке закрепилась в основном за бывшими государственными крестьянами и однодворцами юга России. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в Курской, Воронежской или Рязанской губерниях — там особенно любили фамилии-прилагательные.

У фамилии есть любопытная графическая особенность. В дореволюционных метриках её могли записать и как «Стрешная», и как «Стрѣшная» (через ять), и даже как «Страшная» — из-за того, что корень путали с общеупотребительным словом. Встречается также вариант «Стрешнева» — переделка на -ов под влиянием московской бюрократии. Но именно форма Стрешная, с ударением на первый слог, сохраняет архаичный диалектный облик и прямую связь с прозвищем, а не с фамильным прозванием по отцу.