Фамилия Сулинская звучит по-женски, но история у неё общая для всего рода. Чтобы понять её происхождение, нужно разобрать мужскую форму — Сулинский. Это типичная «географическая» фамилия, образованная по модели «местность + -ский». Такие фамилии обычно получали дворяне по названию своих владений или выходцы из сёл и городов, чтобы указать, откуда человек родом.

Главная версия связывает основу фамилии с гидронимом Сула. Здесь есть развилка: так называются две разные реки. Одна Сула — левый приток Днепра, протекает по Полтавской области Украины. Другая — левый приток Печоры в Архангельской области, она вытекает с восточных склонов Тиманского кряжа. Получается, предок Сулинских мог жить либо на украинском чернозёме, либо на русском севере. В обоих случаях прозвище Сулинский означало «живущий на реке Суле» или «пришедший с неё». В пользу этой версии говорит и то, что фамилии на -ский в старину чаще закреплялись за служилыми людьми и помещиками, которым важно было подчеркнуть свою земельную принадлежность.

Вторая версия ведёт к украинскому слову «сулія» — большая бутыль или фляга. Если следовать ей, прозвище Сулинский относилось к «профессиональным» именованиям и указывало на род занятий. Так могли прозвать мастера, который делал стеклянную посуду, или торговца, который ею приторговывал. Правдоподобность этой гипотезы ниже: суффикс -ский редко прикрепляли к названиям предметов быта для обозначения ремесленника, чаще для этого использовали суффиксы -ник или -арь. Но полностью отбрасывать её нельзя: прозвище могло закрепиться за человеком, который постоянно носил с собой большую флягу, или за владельцем постоялого двора, где такая посуда была на виду.

Спор о корне, впрочем, не отменяет главного: фамилия Сулинская — относительно редкая, и её носительницы вряд ли состоят в близком родстве с многочисленными Сулиными и Сулаковыми. Те фамилии образованы от личного имени Сула (краткая форма от Сулейман или Сусанна) или от прозвища, а здесь мы видим чёткую привязку к топониму. Если ваши предки носили фамилию Сулинский, стоит в первую очередь искать их в метрических книгах Полтавской губернии или Архангельской области — именно там, у двух разных рек с одним именем, и начиналась эта фамилия.