Фамилия Сувеева — женская форма, мужская — Сувеев. В её основе лежит прозвище или нецерковное имя Сувей. Слово «сувей» в русских говорах имело несколько значений. В северных и сибирских диалектах так называли сугроб, снежный занос, а в переносном смысле — неповоротливого, медлительного человека, который «как сугроб». В других областях «сувеем» могли назвать скопление чего-либо, кучу, откуда и прозвище человека плотного, коренастого или просто домоседа.

Суффикс -ев (а не -ов) указывает на то, что основа оканчивалась на мягкий согласный или шипящий: Сувей → Сувеев. Такая модель типична для русских фамилий, образованных от прозвищ с суффиксом -ей. Фамилия могла возникнуть в среде крестьян или посадских людей, где прозвища часто давали по внешним чертам или особенностям поведения.

Встречается фамилия в основном в центральных и северных областях России, особенно в Вологодской, Архангельской и Костромской губерниях, что хорошо согласуется с диалектной географией слова «сувей». В некоторых случаях возможно и тюркское влияние: в татарском языке «су» — вода, а «вей» — давай, но такая версия маловероятна, так как фамилия не характерна для тюркоязычных регионов и не фиксируется в татарских родословных.

Родственные фамилии — Сувейкин, Сувейко, Сувейсков — образованы от тех же корней, но с разными суффиксами. Все они редки, что подтверждает локальный, диалектный характер исходного прозвища.