Фамилия Сыромягина — женская форма от Сыромягин, а та, в свою очередь, образована от прозвища или ремесленного имени Сыромяга. Основа здесь прозрачная: «сырая мяга». Слово «мяга» в русских говорах означало мягкое, размягчённое, обычно о коже. Сыромяга — это не «сырое мясо», как можно подумать на слух, а мастер по выделке сыромятной кожи. В старину сыромятью называли кожу, обработанную без дубления, — её вымачивали, мяли, но не закрепляли дубильными веществами. Такая кожа шла на упряжь, ремни, сёдла и обувь.

Исходное прозвище Сыромяга давали не столько по профессии, сколько по характерному занятию или внешности. В среде крестьян и ремесленников прозвища часто закреплялись за целым родом: «Сыромягины пошли от кожевника Сыромяги». Обратите внимание на суффикс -ин: он указывает на принадлежность («чей?» — Сыромягин), то есть буквально «сын или потомок Сыромяги». Это типичная модель для северных и центральных русских земель, где фамилии на -ин не менее распространены, чем на -ов.

Редкость фамилии в том, что она сохранила архаичное слово «мяга», которое почти вышло из живого употребления. В современных говорах «мягкий» вытеснило старую форму, и только фамилии вроде Сыромягин, Мягин или Мягков напоминают о ней. По данным переписей XIX века, Сыромягины встречались преимущественно в Вятской и Пермской губерниях — регионах, где кожевенное дело было одним из главных промыслов. Встречаются они и сегодня, но рассеяны по всей России.

Если говорить о возможном социальном контексте: предки Сыромягиных — почти наверняка не дворяне, а ремесленники или государственные крестьяне. Фамилия не получила дворянского оформления (без суффикса -ский), что тоже говорит о её «низовом» происхождении. Зато она точно указывает на занятие, которое кормило род несколько поколений подряд.