Фамилия Табольжина — женская форма, а её носительниц в прошлом, скорее всего, было меньше, чем мужчин с фамилией Табольжин. Чтобы понять происхождение, нужно разобрать мужской вариант, от которого она образована стандартным суффиксом -ин, указывающим на принадлежность: «чей?» — Табольжин, то есть потомок или человек из рода Табольжи.

Корень фамилии — «Табольж-», и это сразу наводит на мысль о географическом названии. Самое прямое, что есть на карте, — река Табольжа (или Таболожка), левый приток Волги в Тверской области. В старину такие гидронимы часто становились прозвищами для выходцев с этих мест: «Табольжа» — человек с берегов Табольжи. Суффикс -ин в этом случае работает как «сын Табольжи». Вторая версия, менее вероятная, но допустимая: основа могла быть связана с диалектным словом «табола» (в некоторых говорах — заросли, глухомань или, наоборот, открытое место), но твёрдых лингвистических подтверждений этому нет.

География фамилии тоже подсказывает ответ. Табольжины исторически встречаются именно на северо-западе России: в Новгородской, Тверской, Псковской губерниях. Это как раз те края, где протекает Табольжа и где топонимы на -жа (вроде Устюжна, Воложба) обычны. Если предки ваши — оттуда, то прозвище «Табольжа» дали человеку, который перебрался в другое село или город, чтобы отличить его от местных: «Иван из Табольжи».

Модель образования проста и типична для русских фамилий XVI–XVII веков: топоним + суффикс принадлежности. Никакой редкой морфологии, зато редок сам корень — фамилия нечастотная, не растиражированная, как Иванов или Кузнецов. Сословно носители могли быть крестьянами или мещанами, но в документах встречаются и священнические роды Табольжиных — например, в клировых ведомостях Тверской епархии. Дворянского герба у этой фамилии нет.

Если коротко: Табольжина — «дочь человека с реки Табольжи». Фамилия крепко привязана к конкретному месту на карте России, и это её главная особенность.