Фамилия Танажко — редкий образец украинской модели фамилий на -ко, причём с неочевидной основой, которая заставляет задуматься о прозвище или искажённом имени. Суффикс -ко (в более полной форме -енко) в украинской традиции — это уменьшительно-патронимический формант: он буквально означал «сын такого-то» или «маленький, младший». Но в случае с Танажко основа не даёт однозначного прочтения.

Самая правдоподобная версия связывает фамилию с прозвищем Танага. В украинских говорах «танага» или «танажка» — диалектное название крюка, багра, иногда так называли цепкий инструмент для рыбной ловли или работы в хозяйстве. Человек, получивший прозвище Танага, мог быть рыбаком, кузнецом или просто обладателем цепкого, «загребистого» характера. Фамилия Танажко тогда — это «сын Танаги», а переход «г» в «ж» перед суффиксом — естественное фонетическое смягчение, характерное для украинского языка (сравните: нога — ножка).

Менее вероятна, но не исключена версия от имени Танасий — просторечной формы крестильного имени Афанасий (через украинское Опанас). В этом случае Танажко — это «сын Танаса», но для такого образования обычнее форма Танасенко или Танасюк, а Танажко выглядит как редкий вариант с искажением основы.

Географически фамилия тяготеет к Черниговской и Сумской областям Украины, а также встречается в приграничных районах России (Брянская, Курская области). Это зона, где украинские фамилии на -ко исторически преобладали, а диалектная лексика с «танагой» фиксируется именно в этих говорах. Встречаемость фамилии крайне низкая — в современных базах данных её носителей насчитывается от силы несколько десятков человек. Танажко — не дворянская и не крестьянская по сословному признаку: такие фамилии закреплялись за простыми людьми, ремесленниками и казаками, и в документах XVIII–XIX веков их фиксировали как «прозвания» без привязки к сословию.