Фамилия Тарнова — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все остальные версии. Вопреки интуитивному желанию искать корень в глаголе «таранить» или слове «таран», основа здесь, скорее всего, топонимическая, а не прозвищная.

Суффикс -ов/-ев указывает на принадлежность: Тарнов — это либо сын человека по имени или прозвищу Тарн, либо выходец из места с похожим названием. Но главный ключ — город Тарнув на юго-востоке Польши (историческая Галиция). После разделов Речи Посполитой и особенно после присоединения этих земель к Российской империи в конце XVIII века, многие поляки, украинцы и евреи, переселяясь вглубь России, получали фамилии по месту прежнего жительства. Так «из Тарнова» превращалось в Тарнова. Женская форма Тарнова могла закрепиться за вдовой или дочерью, либо быть изначальной формой в польской традиции (Tarnów → Tarnova).

Менее вероятная, но возможная версия — прозвище Тарн от диалектного слова «тарн» (терновник, колючий кустарник). В южнорусских и украинских говорах так называли заросли тёрна. Тогда Тарнов — человек, живший у терновых кустов, или колючий по характеру. Однако эта версия слабее, потому что фамилий на -ов от названий растений обычно образуется больше (Тернов, Калинов), а Тарнова встречается редко и компактно.

Обратите внимание на окончание -а, а не -ая. Это не типичная русская форма прилагательного (Тарновая), а скорее родительный падеж или женский вариант от мужской фамилии Тарнов. В документах XIX — начала XX века фамилия могла писаться и как Тарнов, и как Тарнова для женщин, но со временем форма на -а закрепилась как основная для всех членов семьи, что часто случалось в крестьянской среде, где паспорта выписывали на одного человека.

В польском языке есть однокоренная фамилия Тарновский (от того же Тарнува), и её русский аналог — Тарновский. Тарнова — более редкая, «опрощенная» версия, без шляхетского суффикса -ский, что говорит о простонародном происхождении предков: скорее всего, крестьяне или мещане, переселенцы. Если ваши предки носили эту фамилию, имеет смысл искать их корни в западных губерниях Российской империи — Волынской, Подольской, Киевской, куда активно мигрировали жители Галиции.