Фамилия Тарунова — женская форма, а мужская, Тарунов, образована с помощью стандартного русского патронимического суффикса -ов. Это значит, что в основе лежит прозвище или имя Тарун, а сама фамилия отвечает на вопрос «чей?» — то есть сын или потомок Таруна.

Самая вероятная версия происхождения основы — от тюркского слова «тарун» (или «тарын»). В ряде тюркских языков (татарском, башкирском, казахском) это слово означает «амбар», «житница», «склад для зерна». Прозвище Тарун могли дать зажиточному крестьянину или торговцу зерном, либо человеку, который жил при большом амбаре или заведовал хранением урожая. В ономастике это пример так называемой «профессиональной» фамилии, но не по ремеслу, а по хозяйственной функции.

Менее распространённая, но возможная версия — от дохристианского славянского имени Тарун. Такие имена встречались в древнерусских говорах и могли быть связаны с глаголом «таранить» (громко стучать, настойчиво добиваться) или с диалектным «тарун» — «упрямец», «крикун». Однако эта гипотеза слабее, так как фамилия Тарунов почти не встречается в центральных и северных русских областях, где такие прозвища были бы логичны.

География фамилии указывает на Поволжье и Приуралье — регионы с сильным тюркским влиянием. В Татарстане, Башкортостане, Оренбургской и Самарской областях Таруновы встречаются заметно чаще, чем, скажем, в Архангельской или Вологодской губерниях. Это косвенно подтверждает тюркскую версию: фамилия могла возникнуть в среде крещёных татар или в русско-татарских смешанных семьях, где тюркское прозвище оформилось по русской модели с суффиксом -ов.

Сравнение с однокоренными фамилиями — Тарынин, Тарымов, Тарутин — показывает, что корень «тар-» в русских фамилиях чаще всего заимствован из тюркских языков. Чисто славянские фамилии с таким корнем (например, Таров или Таранов) имеют другую морфологию и иное значение. Так что для Таруновой тюркский «амбар» — рабочая и самая правдоподобная версия.