Фамилия Тайшиков — редкий случай, когда в основе лежит не личное имя, не профессия и не внешность, а административная или военная должность. Корень здесь — «тайша», слово, которое в XVII–XIX веках обозначало племенного вождя или правителя у калмыков, а также у некоторых тюркских и монгольских народов. В Российской империи тайшами называли крупных калмыцких феодалов, владельцев улусов, и это звание фиксировалось в официальных документах. Соответственно, прозвище Тайшик могли дать человеку, который служил при таком правителе, находился в его подчинении или просто чем-то напоминал его — например, властным характером.

Суффикс «-ов» указывает на стандартную русскую патронимическую модель: Тайшиков — это буквально «сын Тайшика». Сначала прозвище Тайшик закрепилось за конкретным человеком, а затем его потомки получили фамилию по отцу. Обратите внимание на форму «Тайшик»: это уменьшительное образование, характерное для русской разговорной речи при адаптации иноязычных слов. Подобным образом из «мурза» появлялись Мурзиковы, из «князь» — Князьковы.

Географически фамилия тяготеет к регионам, где исторически были сильны калмыцкие и астраханские влияния: Астраханская область, Калмыкия, а также Нижнее Поволжье. Встречается она нечасто, что неудивительно: само слово «тайша» было узкоспециальным и не вошло в обиходную лексику большинства русских говоров. Возможно, предки Тайшиковых были казаками или служилыми людьми, которые контактировали с калмыцкими степными правителями.

Есть и другая, менее вероятная версия: связь с тюркским словом «тай» — «жеребенок», но тогда фамилия скорее имела бы форму Таишев или Тайшев. Вариант с «-ик» и последующим «-ов» указывает именно на адаптацию титула, а не на животное. Так что, скорее всего, носитель фамилии Тайшиков — потомок человека, так или иначе связанного с калмыцкой знатью, либо получившего прозвище за сходство с ней.