Фамилия Тернавщенко — редкий пример украинской фамилии, в основе которой лежит не имя, не профессия, а географический объект, причём с двойной суффиксальной обработкой. Разберём её по частям.

Корень «Тернав-» восходит к названию населённого пункта — скорее всего, села Терновка или Тернавка. Таких сёл на Украине десятки: в Винницкой, Харьковской, Черкасской и других областях. Название, в свою очередь, происходит от «терн» — колючий кустарник, плоды которого использовали в пищу, а древесину — для хозяйственных нужд. Таким образом, первый носитель фамилии был выходцем из места, где росло много тёрна, или из села с соответствующим названием.

Суффикс «-щенко» — это сложная форма, характерная для украинских фамилий, образованных от топонимов. Обычно «-енко» указывает на потомка или жителя: «Тернавченко» означало бы «сын человека из Тернавки». Но в данном случае перед «-енко» стоит «-щ-», которое часто возникает при адаптации основ на -ск- или -цьк-: Тернавский → Тернавщенко. То есть фамилия могла возникнуть как вариант от фамилии Тернавский, но с уменьшительным или «сыновним» суффиксом.

Вероятнее всего, предки носителя фамилии были крестьянами или казаками, переселившимися из одного села Тернавка в другое, и их прозвали «теми, кто из Тернавки», а затем закрепили это в форме Тернавщенко. Географически фамилия встречается преимущественно в центральных и восточных областях Украины, а также среди потомков переселенцев в России.

Сравните с однокоренными: Тернавский (более «дворянский» суффикс, часто у шляхты), Тернавченко (простая форма), Тернавцев (русский вариант). Тернавщенко — самая редкая из них, что говорит о локальном, возможно, даже односельском происхождении. Никаких данных о дворянском статусе или известных исторических личностях с этой фамилией нет — перед нами типичная «географическая» фамилия простого сословия, где суффикс не столько указывает на родство, сколько на место жительства.