Фамилия Терпинская — редкий случай, когда географическая привязка почти наверняка перевешивает все прочие версии. Её основа — не личное имя и не прозвище, а название места, откуда родом был первый носитель. Модель образования с суффиксом -ск- типична для дворянских и польских фамилий, но в русской среде этот суффикс чаще всего указывает на происхождение от географического объекта: села, деревни или урочища.

Корень «Терпин-» восходит к слову «терпеть» или «терпение». Однако в прямом смысле (прозвище Терпила, Терпеливый) фамилия образовалась бы иначе — через суффиксы -ов или -ин: Терпилов, Терпилин. Суффикс -ский закрепляет за человеком принадлежность к местности, а не качество характера. Поэтому логичнее искать населённый пункт с названием Терпино, Терпинка или Терпинское. Такие топонимы встречаются: например, село Терпин в Запорожской области Украины (нынешнее название — Терпенье) или деревня Терпино в бывшей Псковской губернии. Переселенец из такого места получал прозвище «Терпинский», которое со временем закрепилось как фамилия.

Есть и альтернативная, менее вероятная версия — от прозвища Терпила, которое давали человеку с ангельским терпением или, наоборот, тому, кто вынужденно много терпел от других. В этом случае фамилия прошла бы через стадию отчества: Терпилин сын → Терпилин. Но форма на -ский плохо вписывается в эту схему: такие фамилии у крестьян и горожан центральной России почти не встречались, они характерны для духовенства, шляхты или переселенцев с запада.

Написание фамилии — Терпинская (женский род) или Терпинский (мужской). Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Терпи́нская. В документах XIX века могла встречаться вариация через «е» — Терпенская, если писарь связывал корень с «терпением» напрямую. Но современная орфография закрепила «и» в суффиксе.

Социальный срез фамилии размытый. Если предки были из духовенства — фамилию могли дать в семинарии по названию села или по добродетели (терпение — одна из христианских добродетелей). Если из крестьян или мещан — это почти наверняка прозвание по месту выхода. Дворянский герб с такой фамилией не зафиксирован, так что к титулованным родам Терпинские не относились.

Коротко: ищите корни на карте. Фамилия Терпинская — это след переезда предков из деревни или села с похожим названием. Без географической привязки её этимология повисает в воздухе.