Фамилия Цапив — редкий случай, когда написание прямо указывает на украинское происхождение. В русском языке такая фамилия выглядела бы как Цапов, а окончание -ив (а не -ов) — это характерный признак украинской модели образования фамилий от основ, оканчивающихся на согласный. Если бы основа оканчивалась на -а, мы бы увидели форму Цапин. Здесь же — именно Цапив, что однозначно говорит о том, что перед нами украинская фамилия.

Основа — цап. В украинском языке слово «цап» означает «козёл», причём именно домашний козёл, а не дикий. Прозвище Цап могли дать человеку с упрямым, своенравным характером, с бородкой или с какой-то особой походкой — всё это типичные ассоциации с козлом в народной культуре. Но возможен и другой вариант: прозвище могло возникнуть от глагола «цапати» — хватать, царапать, цеплять. В таком случае Цапом называли придирчивого, цепкого человека или того, кто «цапал» чужое.

Модель образования проста: к основе Цап- добавили патронимический суффикс -ив (соответствует русскому -ов). То есть Цапив буквально означает «сын Цапа» или «принадлежащий Цапу». Это типичная украинская фамилия, распространённая в центральных и западных областях Украины, особенно в тех регионах, где говорят на диалектах, близких к литературному украинскому языку.

В России фамилия Цапив встречается крайне редко — в основном у потомков украинских переселенцев на Кубань, в Поволжье или Сибирь. При переезде в русскоязычную среду написание могли адаптировать, но сохранилась именно украинская форма. Если же вы встретили вариант Цапов, то это уже результат русификации фамилии, когда окончание привели к привычному русскому уху виду.

Других версий происхождения — от тюркских или финно-угорских корней — для этой фамилии нет. Слово «цап» в славянских языках имеет чёткую этимологию, и все попытки искать иное объяснение будут натяжкой. Так что, скорее всего, предки носителя фамилии Цапив — украинские крестьяне или казаки, получившие прозвище за свой нрав или внешность.