Фамилия Цывкунов образована от прозвища Цывкун. В её основе лежит диалектный глагол «цывкать» — так в южнорусских и украинских говорах называли цоканье, прищёлкивание языком, а иногда и резкий, отрывистый звук вообще. Человек, которого дразнили Цывкуном, скорее всего, имел привычку цокать, причмокивать или говорить отрывисто, с характерным призвуком. Менее вероятно, но возможно, что прозвище дали по роду занятий — например, тому, кто выбивал ритм, «цывкал» кнутом или работал с чем-то звонким.

Суффикс -ун в русских прозвищах типичен для названий лиц по действию или характерному признаку: говорун, крикун, молчун. Цывкун — «тот, кто цывкает». Такая модель продуктивна в народной среде, и фамилия относится к древнему пласту, когда прозвище переходило к детям без изменений, а затем обрастало патронимическим суффиксом -ов.

Фамилия редкая. Основной ареал её бытования — юг России, особенно Ростовская область и Краснодарский край, а также восточные области Украины. Встречается она и в Беларуси, но реже. География подсказывает, что корни у фамилии украинские или южнорусские, и исходное слово «цывкати» хорошо сохранилось именно в этих говорах.

У фамилии есть однокоренные варианты: Цывкун (без суффикса), Цывкуновский, Цывкалёв. Если сравнить с фамилией Цыкалов или Цоков, видна та же звукоподражательная основа, но с другой диалектной окраской. В написании через «ы» после «ц» нет ничего необычного — это историческая норма, закреплённая в фамилиях до реформы орфографии.

Сословной привязки у Цывкуновых нет: фамилия встречалась и у крестьян, и у казаков, и у мещан. В документах XVIII–XIX веков её носители фиксируются как люди «из малороссиян» или «из однодворцев», то есть из свободных, но недворянских слоёв. Дворянской ветви с такой фамилией не известно.