Фамилия Турабаев образована от тюркского личного имени Турабай. Разбор здесь прозрачный: основа «Тура» и компонент «бай», который в тюркских языках означает «богатый», «господин», «хозяин». Имя Турабай буквально переводится как «богатый Тура» или «господин Тура». Само имя Тура восходит к древнетюркскому слову со значением «стоящий», «крепкий», «устойчивый» — в переносном смысле так могли назвать ребенка, желая ему твердости в жизни и надежности.

Аффикс «-ев» (фонетический вариант «-ов» после мягкого согласного) — стандартный русский патронимический суффикс, который в XVI–XIX веках добавляли к тюркским именам при оформлении фамилий в среде крещеных татар, башкир, казахов и других народов Российской империи. Фамилия Турабаев не древняя: она возникла не раньше середины XVII века, когда у тюркских народов начали массово появляться фамилии по русскому образцу.

Географически фамилия чаще всего встречается у татар и башкир, реже — у казахов. Если ваши предки носили её, скорее всего, они были из числа служилых татар или башкирских вотчинников, которые после принятия православия получали фамилии по имени отца. В некоторых случаях фамилия могла закрепиться и у мусульман, не менявших веру, — тогда она указывает на род, где имя Турабай передавалось из поколения в поколение.

Интересная деталь: в отличие от многих тюркских фамилий на «-баев» (например, Акбаев, Карабаев), где вторая часть ясна, имя Тура встречается реже. Некоторые исследователи связывают его с монгольским словом «тура» — «город», «крепость». Тогда Турабай — «городской богач» или «владелец крепости», что звучит как прозвище, а не пожелательное имя. Но эта версия менее вероятна: в тюркской ономастике имя Тура чаще объясняют как сокращение от сложных имен вроде Турсунбай («пусть останется жить»), где «тур» — повелительная форма глагола «стоять», «оставаться».