Фамилия Варун происходит от древнего славянского корня «вар», связанного с действием «варить» — то есть кипятить, готовить на огне. Однако, в отличие от более распространённых фамилий вроде Вареников или Варёнов, здесь мы видим не суффикс принадлежности, а редкую модель образования: основа «вар-» с суффиксом «-ун», который в русском языке часто указывает на деятеля или носителя признака. Сравните: бегун, говорун, шатун. Соответственно, Варун — это тот, кто варит, повар или кулинар.

Но есть и другая версия, не менее правдоподобная. В народной речи «варуном» могли прозвать человека, который однажды обварился кипятком. Такие прозвища по случайным, но запоминающимся событиям были обычным делом в среде крестьян и ремесленников. Имя по профессии или по случаю — обе гипотезы укладываются в логику славянского словообразования, и выбрать единственную сложно: слишком мало письменных источников, чтобы уверенно судить.

Географически фамилия Варун встречается редко, что говорит о её локальном происхождении. В отличие от фамилий на «-ов» или «-ин», которые массово давались по отцу, модель на «-ун» чаще закрепляла прозвище самого человека. Это значит, что первый носитель фамилии, скорее всего, был известен в своей округе именно как Варун — либо за мастерство у печи, либо за злополучный ожог.

В ономастике такие фамилии ценны тем, что сохраняют живую речь прошлого: не книжное слово, а меткое прозвище, данное соседями. Если у вас фамилия Варун, ваши предки, вероятно, жили в северных или центральных русских землях, где диалектное слово «варун» могло бытовать в обоих значениях.