Фамилия Васюр — редкий пример, где суффикс указывает на географию точнее, чем корень. Окончание -юр характерно для западных областей Украины и Беларуси, особенно для регионов, испытавших влияние польского языка. В польской ономастике суффикс -ur нередко встречается в фамилиях, образованных от имён (например, Янтур, Казимир). Васюр, скорее всего, произошёл от разговорной формы имени Василий — Васюра или Васюро, где конечное -о под влиянием польского перешло в -юр. То есть фамилия — это вариант адаптации русского или украинского имени к местному произношению.

Корень Вас- указывает на сокращение от крестильного имени Василий (греч. «царский»). Такие усечённые формы были в ходу в быту: Васюк, Вася, Васюра. Васюр — это та же модель, но с редким суффиксом. Встречается фамилия преимущественно в западных областях Украины (Львовская, Тернопольская) и на юго-востоке Польши. В центральной России она почти не бытует, что подтверждает её локальное происхождение.

Вторая, менее вероятная версия связывает Васюр с прозвищем Васюра, которое могло означать «важный, вальяжный человек» от диалектного «васюриться» — важничать. Но эта гипотеза слабая: слово «васюриться» фиксируется редко и в основном в говорах Псковщины, где суффикс -юр нетипичен.

По сословной принадлежности Васюры — почти наверняка крестьяне или мещане. В дворянские роды фамилия не попала, в сводках XVII–XVIII веков не упоминается. Это объясняется её поздней фиксацией: как и большинство «украинских» фамилий на -юр, она оформилась в XVIII–XIX веках, когда крепостным начали массово давать фамилии по имени отца.

Известных носителей с фамилией Васюр в открытых источниках нет — это типичная «тихая» фамилия, которая не гремела в истории, но сохранила в себе следы языкового пограничья. Если ваш предок носил её, он, скорее всего, жил в зоне контакта украинского и польского языков, а его прадеда звали просто Вася.