Фамилия Верковская — женская форма фамилии Верковский, и её разумнее всего разбирать через мужской вариант. По модели образования это типичная фамилия на -ский/-цкий, которая в восточнославянской традиции чаще всего указывала на географическое происхождение: владельца имения или жителя населённого пункта. И действительно, на карте Беларуси и Украины встречаются топонимы Верки, Верково, Верков. Например, есть деревня Верки под Витебском, а в Житомирской области — село Верков. Предок носителя такой фамилии мог быть либо помещиком из этих мест, либо просто выходцем оттуда.

Но есть и другая, менее очевидная версия. Основа «Верк-» может восходить к немецкому или еврейскому корню. В немецком «Werk» означает «работа, мастерская, завод». В среде немецких колонистов, которых в XVIII–XIX веках приглашали в Российскую империю, фамилия Верковский могла появиться как русифицированная форма от прозвища мастера или рабочего. В еврейской среде фамилия Верковская (от местечка Верки под Вильно) тоже встречается, и это одна из ашкеназских фамилий, образованных по польскому образцу с суффиксом -ский.

Суффикс -ск- в фамилии Верковская не указывает на принадлежность отцу (как -ов или -ин), а подчёркивает связь с местом или сословием. В XIX веке такие фамилии чаще носили дворяне, духовенство или горожане, реже — крестьяне. Поэтому по социальному происхождению предки Верковских, скорее всего, были не крепостными, а либо шляхтой (на западе империи), либо мещанами.

Интересная деталь: ударение в фамилии может падать как на второй слог (ВеркОвская), так и на первый (ВЕрковская). Второй вариант встречается реже и обычно указывает на более древнюю, литовскую или польскую огласовку, где корень «Верк-» мог означать «волк» (от лит. vilkas). Но это уже гипотеза, требующая проверки по конкретным записям метрических книг.