Фамилия Весенко образована от нецерковного имени или прозвища Весень. В основе лежит слово «весень» — в архангельских говорах так называли первые полевые цветы, первоцвет. Скорее всего, имя Весень давали родители долгожданному ребёнку, сравнивая его с первым весенним цветением. Впрочем, не исключён и более простой вариант: так могли назвать малыша, родившегося весной.

Фамилия построена по распространённой восточнославянской модели с суффиксом -енко, который характерен для украинской и южнорусской ономастики. Суффикс -енко изначально имел значение «сын» или «потомок», то есть Весенко — это буквально «сын Весеня». Эта модель особенно активно использовалась в Левобережной Украине и на юге России в XVI–XVIII веках, что указывает на возможное географическое происхождение рода.

В отличие, скажем, от фамилии Весенев, где суффикс -ев указывает на притяжательность («чей?»), форма с -енко более конкретно подчёркивает родство по отцу. Таким образом, носитель фамилии Весенко — потомок человека, носившего прозвище Весень.

Слово «весень» в старых говорах могло иметь и более широкий смысл — «тепло», «весенняя пора». Поэтому прозвище могло относиться не только к ребёнку, но и к взрослому человеку с лёгким, «весенним» характером. Однако первая версия — о связи с первоцветом или временем рождения — выглядит более убедительной и конкретной.