Фамилия Вилячкин — редкий случай, когда основа, скорее всего, не имя и не профессия, а прозвище, образованное от глагола, причём с неожиданным смысловым поворотом. Разбираем её состав: корень «виляч-» и суффикс принадлежности «-ин». Суффикс указывает, что фамилия по происхождению «семейная»: предка звали Вилячка, а его потомки стали Вилячкины.

Что такое Вилячка? В народных говорах слово «вилять» означало не только «извиваться» или «идти петляя», но и переносно — «хитрить, уклоняться от прямого ответа». Соответственно, Вилячкой могли прозвать человека увёртливого, непостоянного или того, кто любил «вилять хвостом» — то есть льстить, подлизываться. Однако у этой основы есть и более конкретное значение: в некоторых регионах «вилячкой» называли человека с хромотой или особой походкой, который при ходьбе «виляет» корпусом. Это прозвище по физическому недостатку — вполне типичная модель для русских фамилий (ср. Косой — Косов, Хромой — Хромов).

Версия с ремеслом здесь маловероятна: никакого «вилячного» промысла в истории не зафиксировано. Зато есть интересная параллель с фамилией Виляев (от «вилять») — они однокоренные, но различаются суффиксами. Вилячкин стоит особняком: уменьшительно-пренебрежительный суффикс «-к-» в основе (Вилячка) говорит о том, что прозвище давали скорее в быту, среди своих, а не официально.

Географически фамилия редкая, встречается преимущественно в центральных областях России и в Поволжье. В дореволюционных переписях Вилячкины — почти всегда крестьяне или мещане, никаких дворянских родов с такой фамилией нет. Так что ваш предок, скорее всего, был человеком с заметной особенностью — либо в походке, либо в характере, за что и получил своё прозвище.