Фамилия Волыжев — редкая, и её происхождение неочевидно. В отличие от множества фамилий на -ов, образованных от крестильных имён или названий профессий, основа здесь тёмная. Разберёмся по частям.

Корень «волыж-» не встречается ни в древнерусских именах, ни в распространённых прозвищах. Самое правдоподобное объяснение — связь с диалектным словом «волыжить» или «волызгать». В русских говорах, особенно северных и вологодских, «волызгать» означало «бродить без дела», «шататься», «праздно шататься». Человека с таким прозвищем — Волыга или Волыжа — могли так назвать за неспокойный, бродячий нрав или за то, что он часто менял место жительства. Суффикс -ев указывает на принадлежность: сын Волыжа.

Есть и альтернативная, менее вероятная версия: от тюркского имени или прозвища. В тюркских языках есть слово «волык» (в разных фонетических вариантах) со значением «сильный», «могучий». Но для фамилии Волыжев эта гипотеза слаба: переход «к» в «ж» в русской адаптации нехарактерен, да и распространение фамилии не тяготеет к регионам с сильным тюркским влиянием.

География фамилии тоже подсказывает ответ. Волыжевы — редкая фамилия, и большинство её носителей исторически жили на Русском Севере: в Вологодской, Архангельской, Кировской областях. Это как раз ареал бытования слова «волызгать». Выходит, что предок носителя фамилии Волыжев — скорее всего, крестьянин или посадский человек из северных земель, получивший прозвище за непоседливость или склонность к скитаниям. Фамилия, таким образом, не указывает на ремесло или социальный статус, а описывает черту характера или образ жизни.