Фамилия Вязьмина образована от прозвища или именования Вязьма, а то — от названия реки Вязьма в Смоленской области. В древности эта река была частью важного торгового пути, который связывал верховья Волги, Оки и Днепра. Человек, получивший прозвище Вязьма, скорее всего, жил на берегу этой реки или в окрестностях — так в старину называли выходцев из конкретной местности.

Сам гидроним Вязьма ведут от древнерусского слова «вязь» — «болото, топь». Река действительно протекает по заболоченной низине, поэтому название точно описывает её характер. Модель образования фамилии проста: к основе Вязьм- добавили типичный русский суффикс принадлежности -ин, указывающий на родство: «чей?» — Вязьмин, то есть сын или потомок Вязьмы. По той же схеме возникли фамилии Москвин, Тверитин, Казанцев — все они указывают на связь с конкретным местом.

В русской ономастике фамилии на -ин чаще встречаются в северных и центральных областях, но Вязьмина имеет чёткую привязку к Смоленщине. В XVII–XVIII веках носители этой фамилии могли быть как крестьянами, так и служилыми людьми — смоленские земли долго были пограничьем, и местные жители нередко несли сторожевую службу. Встречаются и варианты написания: Вязьмин, Вязьмина (женская форма), а также устаревшее Вяземский, но последнее — отдельная фамилия, образованная через суффикс -ский от того же топонима, но для дворянского сословия.

Таким образом, фамилия Вязьмина — типичный пример «географического» прозвища, закреплённого в роду. Предки носителей этой фамилии жили у реки с болотистыми берегами, и это место навсегда осталось в их родовом имени.