Этимология фамилии Вязьмин, принадлежащей к распространенному типу русских фамилий, восходит к личному прозвищу. Фамилия Вязьмин образовалась от топонима, т.е. географического названия. Скорее всего, предок носителя этой фамилии имел прозвище Вязьмин, т.к. жил на берегу или близ реки Вязьма (в Смоленской обл.), которая в древние времена являлась частью пути, связывавшего верховья Волги, Оки и Днепра. В результате, потомки человека, обладающего прозвищем Вязьмин, со временем получили фамилию Вязьмин. Поэтому точно сказать, когда и где впервые появилась фамилия Вязьмин, сложно.