Фамилия Вязьмин — это типичный случай, когда прозвище человека закрепилось за его потомками. Образована она от названия реки Вязьма, протекающей в Смоленской области. В древности эта река была частью важного торгового пути, связывавшего верховья Волги, Оки и Днепра. Предок Вязьминых, скорее всего, жил на её берегу или неподалёку — отсюда и пошло прозвище, а затем и фамилия.

Корень здесь — гидроним Вязьма. В его основе лежит русское слово «вязь», то есть «болото, топь». Река, видимо, протекала по болотистой местности, что и дало ей такое название. Суффикс -ин указывает на принадлежность: Вязьмин буквально означает «сын (или потомок) человека по прозвищу Вязьма».

Фамилия довольно редкая, и её география напрямую связана со Смоленщиной и соседними регионами. Встречаются и однокоренные фамилии — Вяземский, Вязьмитинов. Первая образована по той же модели, но с другим суффиксом (от названия города Вязьма), вторая — от жителя этой местности. Вязьмин же — более простая, «прозвищная» форма, без дворянского оттенка, который часто придаёт суффикс -ский.