Фамилия Вязнова — женская форма, а её мужской вариант — Вязнов. Чтобы понять происхождение, нужно разобрать основу «Вязн-». Здесь сразу два возможных пути, и оба ведут в толщу народной речи, а не в книжную ономастику.

Первый и самый прямой — от слова «вязнуть». Прозвище Вязня или Вязной могли дать человеку медлительному, неповоротливому, который «вязнет» в делах или в дороге. В говорах «вязлый» означало «топкий, вязкий», а «вязничать» — мешкать. Второй вариант — от названия дерева «вяз». Но здесь тонкость: фамилии от названий деревьев обычно образуются через суффикс -ов (Вязов, Берёзов, Дубов) или -ин (Осинин). Форма «Вязнов» указывает на основу «Вязн-», которая могла возникнуть из прилагательного «вязный» (то есть относящийся к вязу, сделанный из вяза) или из прозвища Вязня — человека, жившего у вязов или работавшего с вязовой древесиной.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: прозвище на -ня (Вязня) или прилагательное (Вязной) → притяжательное прилагательное с суффиксом -ов (Вязнов). Суффикс -ов указывает на принадлежность: «сын Вязни» или «из рода Вязного».

Географически фамилия редкая. Встречается в основном в центральных областях России, где вяз растёт в подлеске, и в Поволжье. В архивных записях XVII–XVIII веков можно найти крестьян и посадских людей с таким прозвищем, но массового распространения фамилия не получила.

Интересная деталь: в некоторых говорах «вязнова» — форма родительного падежа от «вязновый» (вязовый). Это могло закрепиться как прозвище-характеристика: «человек из вязовой рощи» или «тот, кто делает вязовые сани». Но скорее всего, фамилия всё же восходит к личному прозвищу, а не к топониму. Спор между двумя версиями решается просто: прозвище по характеру («вязнущий») встречается в русской антропонимии чаще, чем прозвище по дереву с нестандартным суффиксом.