Фамилия Вязовая — это редкий случай, когда женская форма фамилии сохранилась в качестве родового имени, а не стала просто грамматическим вариантом от мужской Вязов. В основе лежит прозвище Вязой или Вязовая, которое давали человеку по его связи с деревом вязом. Древесина вяза ценилась на Руси за особую гибкость и вязкость: из нее гнули полозья для саней, ободья для колёс, делали детали для машин и механизмов. Поэтому первая и самая прямая версия — предок был мастером, работавшим с этим материалом: столяром, тележником или колесником.

Но есть и вторая ветвь значения. Кора вяза (лыко) шла на плетение лаптей — самой массовой обуви русской деревни вплоть до 1930-х годов. Лапти плели из лыка липы, но в ход шло и лыко вяза. Так что не исключено, что прозвище Вязовой получил именно лапотник — тот, кто плёл и продавал лапти. В некоторых говорах «вязовым» могли называть и просто крестьянина, носившего такую обувь, но это менее вероятно: прозвища обычно давали по занятию, а не по предмету одежды.

Фамилия образована по модели притяжательных прилагательных с суффиксом -ая. В старину это была форма, отвечавшая на вопрос «чья?»: Вязовая означало «дочь или жена Вязого». Со временем фамилия закрепилась за целым родом, и сейчас её носительницы могут не иметь прямого отношения к ремеслу предков. Географически фамилия тяготеет к центральным и южным регионам России, где вяз был распространён, — встречается в Тульской, Рязанской, Воронежской областях, а также на Украине.

Однокоренные фамилии — Вязов, Вязовцев, Вязьмитинов — но Вязовая стоит особняком из-за своего окончания. Если Вязов или Вязовцев прямо указывают на мужчину-родоначальника, то Вязовая — это архаичная форма, сохранившая память о том времени, когда фамилии ещё не были застывшими и менялись по родам.