Фамилия Ясиновський — типичный пример украинской фамилии на -ський, которая указывает на географическое происхождение. Такие фамилии в XV–XVII веках получали шляхта, казацкая старшина и зажиточные крестьяне, но позже модель распространилась шире. Основа здесь — топоним Ясинове, Ясинова або Ясинівка. В Украине десятки сел с такими названиями — на Волыни, Подолье, в Галичине и на Слобожанщине. Названия этих сел, в свою очередь, произошли от дерева ясен: «ясиновий» значит «ясеневый». Так что Ясиновський — это буквально «тот, кто родом из Ясинового» или «ясеневый человек».

Суффикс -ський в украинской ономастике работает так же, как русское -ский: он превращает название места в фамилию владельца или жителя. Интересно, что в польском языке та же фамилия писалась бы как Jasinowski, а в русском — Ясиновский. Вариант с мягким знаком (Ясиновський) — однозначный маркер украинской орфографии и происхождения. Если ваши предки носили именно такую форму, скорее всего, они происходили с территории современной Центральной или Западной Украины, где в XIX веке фамилии на -ський были особенно распространены среди крестьян после отмены крепостного права.

Встречается и другая, менее вероятная версия: от прозвища Ясина (от «ясина» — ясень) с последующим добавлением патронимического суффикса -ов и переоформлением в -ський. Но для фамилии с таким окончанием топонимическое объяснение правдоподобнее. Если искать однокоренные фамилии, то в том же гнезде — Ясенев, Ясень, Ясинов, Ясинецкий. Разница в суффиксе как раз и показывает, где и как закрепилась фамилия: -ов типичен для центральной России, а -ський — для украинских земель.

Сословной принадлежности у фамилии нет. В реестрах XVII–XVIII веков Ясиновськие встречаются и среди реестровых казаков, и среди мещан, и среди духовенства. Всё зависело от того, в каком именно Ясинове жила семья.