Фамилия Забегловская — типичный пример «географической» фамилии, образованной по модели, характерной для польской, украинской и белорусской шляхты, а затем и для русского духовенства. Суффикс -ск- указывает на связь с местом: Забегловский — тот, кто родом из населённого пункта с названием Забеглово, Забеглы или Забегловка. Вопрос в том, откуда взялось само это название.

Корень «забег» в русском языке очевиден — это существительное от глагола «забегать». Однако в топонимике он мог закрепиться по-разному. Самая правдоподобная версия: название деревни или хутора Забеглово возникло от прозвища или некалендарного имени основателя — Забег. В древнерусской антропонимии такие имена давали по поведению или обстоятельствам рождения: Забег мог означать «пришлый», «забежавший» со стороны, то есть чужак, поселившийся на новом месте. Либо, наоборот, так могли прозвать расторопного, быстрого человека — «забеглого», то есть скорого на ногу. В словаре древнерусских личных имён Веселовского встречаются схожие основы (Забелин, Забелкин), что подтверждает реальность такого прозвищного корня.

Менее вероятная, но допустимая версия — связь с диалектным значением слова «забег»: в некоторых говорах так называли отдалённый загон для скота или дальний покос. Тогда Забеглово — это выселок, расположенный за основными полями, «за бегом» (то есть за пределами обычного хода). Но это скорее народная этимология.

Сама фамилия Забегловская — относительно поздняя. Если бы она была крестьянской, от отчества, мы бы увидели форму Забеглов (сын Забегла). Суффикс -ский выдаёт либо дворянский род, получивший фамилию по имению, либо, что чаще, семинарское происхождение. В духовных училищах XIX века будущим священникам нередко давали «искусственные» фамилии по названиям сёл, где служил их отец, или по красивым, благозвучным корням. Забегловская могла появиться в среде духовенства как облагороженный вариант от той же основы — вместо грубоватого Забеглов взяли более книжное Забегловский.

Географически фамилия редкая. В современных базах она встречается единично, преимущественно на западе России и в Беларуси. Это подтверждает версию о происхождении из западных губерний, где суффикс -ский был особенно распространён среди местной шляхты и униатского духовенства. Однокоренные фамилии — Забегалов, Забегаев, Забеглов — встречаются чаще, и они как раз отражают «простонародный» путь образования. Забегловская же осталась фамилией с историческим налётом: её носители, скорее всего, потомки либо мелкопоместных землевладельцев, либо сельских священников из небольшого местечка с названием, которое сегодня уже не найти на карте.