Фамилия Забежкина — женская форма фамилии Забежкин, и её основа напрямую связана с русским глаголом «забежать» или «забегать». В отличие от более частых фамилий, образованных от «бегать» (Бегунов, Беглов), здесь важен оттенок «за» — то есть действие, совершённое с определённой целью или в определённый момент. Скорее всего, прозвище Забежка дали человеку подвижному, расторопному, который любил «забежать» в гости или по делу, либо тому, кто работал рассыльным, скороходом или гонцом. В русских говорах слово «забежка» могло означать и короткий перерыв, и быструю ходьбу, и даже небольшой трактир, куда «забегают» на минуту, — но для фамилии первично именно личное прозвище.

Модель образования проста: суффикс -к- (Забежка) плюс притяжательный суффикс -ин, указывающий на принадлежность («сын Забежки»). Это типично для северных и центральных русских регионов, где фамилии на -ин широко распространены. В отличие от фамилий на -ов, которые чаще образовывались от названий профессий или имён на согласный, -ин закреплялся за основами на -а/-я. Таким образом, Забежкин — фамилия из той же группы, что и Белкин, Галкин, Козловин, но с глагольной, а не зооморфной или именной основой.

В ономастических справочниках фамилия не зафиксирована как очень древняя или дворянская — она скорее крестьянская или мещанская. Встречается в основном в центральной России и Поволжье, хотя из-за редкости точную географию установить трудно. Спорных версий происхождения немного: иногда её ошибочно связывают с топонимом Забежка (гипотетическая деревня), но в русской топонимике такого названия не отмечено. Более правдоподобно, что прозвище возникло в бытовой речи: «Забежка» — человек, который вечно куда-то спешит или «забегает» первым.

Стоит обратить внимание на ударение: в фамилии Забежкина оно падает на второй слог (За-бéж-ки-на), что отличает её от возможных омонимичных форм с ударением на первый слог, которые могли бы быть связаны с диалектным «забежкá» (вид рыболовной снасти). Но в фамильной традиции закрепилось именно «забéжка» — от глагола. Таким образом, предки современных Забежкиных были людьми живыми, деятельными, возможно, работали посыльными или просто отличались быстрой походкой.