Фамилия Забежкин — довольно редкая, но прозрачная по смыслу. Её основа — глагол «забежать» или однокоренное существительное «забежка». Вряд ли предок был профессиональным бегуном: в русских говорах «забежка» означала не только быстрый визит, но и забегаловку, кабак, а также уловку, хитрость. Возможно, прозвище Забежка дали человеку, который часто забегал в чужие дома или в питейное заведение, либо тому, кто умел «забежать вперёд» — то есть действовать с опережением, ловчить.

Суффикс -ин указывает на принадлежность: Забежкин — «сын Забежки». Такая модель типична для прозвищных фамилий средней полосы России, особенно для регионов, где не было массового насаждения фамилий на -ов/-ев. Встречаются однокоренные фамилии Забежкин, Забежков, Забегаев — все они одного корня, но Забежкин сохраняет уменьшительно-пренебрежительный оттенок исходного прозвища.

Интересно, что фамилия могла возникнуть и от топонима: в некоторых областях есть урочища и хутора с названием Забежка — например, в бывшей Вологодской губернии. Тогда Забежкин — это человек, пришедший из такого места, но эта версия менее вероятна, потому что фамилии от названий поселений обычно оканчиваются на -ский.

В дореволюционных списках Забежкины встречаются в основном среди крестьян и мещан, реже — среди купцов. Никаких громких исторических личностей с этой фамилией не зафиксировано, что типично для прозвищ, которые не давали дворянам. Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они происходили из центральной или северной России, где прозвища на -жка были особенно распространены.