Фамилия Забежко звучит на южнорусский или украинский лад — и это не случайно. Её выдает суффикс -к-, типичный для фамилий, образованных на землях бывшей Речи Посполитой, особенно в Беларуси и на Украине. В русском языке чаще встречались бы варианты Забежкин или Забежков, а здесь перед нами модель с уменьшительным или патронимическим суффиксом -ко, который со временем закрепился как фамильный.

Основа фамилии — глагол «забежать» или связанное с ним прозвище Забега, Забежко. В восточнославянской ономастике такие прозвища давали человеку подвижному, непоседливому, который везде поспевал, или, напротив, тому, кто любил «забегать» в гости без приглашения. Не исключён и более конкретный бытовой смысл: так могли назвать беглого крестьянина или человека, который «забежал» в эти края издалека, то есть пришлого, не местного. В словаре древнерусских прозвищ С. Б. Веселовского встречаются схожие основы — Забега, Забелин, что подтверждает активное использование этого корня в XV–XVII веках.

География фамилии Забежко сегодня сосредоточена в основном в Краснодарском крае, Ростовской области и на Украине. Это указывает на миграционные потоки конца XIX — начала XX века, когда малоземельные крестьяне с Украины переселялись на Кубань и Дон. Фамилия могла возникнуть и в среде казачества: прозвище Забежко — «пришлый, забеглый» — как раз подходило для человека, который осел в станице не по рождению.

С точки зрения словообразования, это типичная украинская фамилия на -ко, которая не склоняется в русском языке. Такие фамилии фиксировались в реестрах Войска Запорожского и в метрических книгах южных губерний Российской империи. В отличие от русских фамилий на -ов/-ев, модель на -ко не указывает на прямую принадлежность отцу (как, например, Иванов — сын Ивана), а скорее называет самого носителя по характерному признаку — «тот, кто забегает».

Встречается и редкий вариант с ударением на второй слог — Забежко́, что может быть диалектной особенностью или следствием поздней русификации. Но основное ударение в большинстве современных носителей падает на второй слог: Забе́жко.

Таким образом, предки носителя этой фамилии, скорее всего, были людьми подвижными, возможно — переселенцами, а сама фамилия прочно связана с южнорусскими и украинскими землями, где прозвища по действию становились родовыми именами.