Фамилия Загадаев — редкий случай, когда корень не прячется за затемнённым смыслом, а лежит на поверхности. Основа здесь — глагол «загадать» или существительное «загадка». Человек, получивший такое прозвище, мог быть любителем загадывать загадки, мудреным собеседником, а возможно — тем, кто сам себе загадал какую-то цель или судьбу. В народной речи слово «загадай» звучало как призыв, а в прозвище оно закрепилось в повелительной форме: Загадай. Суффикс -ев (а не -ов) указывает, что основа заканчивалась на мягкий согласный или й — то есть исходная форма была именно Загадай, а не Загада.

Модель образования типична для русских фамилий XVI–XVII веков: прозвище на -ай (сравните: Болтай, Ломай, Думай) превращалось в фамилию с помощью патронимического суффикса -ев. Такие прозвища часто давали не по профессии, а по характерной черте поведения. Загадай — человек, который постоянно что-то загадывает, испытывает собеседника или сам живёт с оглядкой на приметы и гадания.

География фамилии довольно узкая. Загадаевы встречаются в основном в Поволжье — в Татарстане, Башкирии, Ульяновской и Самарской областях. Это наводит на мысль, что фамилия могла возникнуть на стыке русской и тюркской культур: глагол «загадать» понятен и русскому, и татарину, а форма на -ай характерна для русских прозвищ, которые давали в многонациональной среде. В дореволюционных переписях Загадаевы почти всегда записаны как государственные крестьяне или мещане — то есть люди незнатные, но свободные.

В словарях русских фамилий (например, у Б. Унбегауна) фамилия не упоминается — это говорит о её редкости. Нет и натянутых версий про «загада» как якобы диалектное слово. Всё прозрачно: корень — загадка, суффикс — повелительная форма, окончание — отчество. Фамилия сохранила живой разговорный отпечаток: когда-то вашего предка окликали «Загадай!», и это стало именем рода.