Фамилия Захаркинский — один из тех случаев, когда суффикс рассказывает о происхождении больше, чем корень. Перед нами типичная «географическая» фамилия, образованная по модели «название места + -ский». Такие фамилии в XIX веке часто получали дети священнослужителей и дворяне, но в данном случае речь почти наверняка о духовном сословии: семинаристам при поступлении нередко меняли бытовые фамилии на более благозвучные, производные от названий сёл или церквей.

Основа «Захаркин» — это либо притяжательная форма от имени Захарка (разговорный вариант имени Захарий), либо название населённого пункта. В России и на Украине встречались хутора и деревни с названиями вроде Захаркино, Захарков, Захарки. Если предки жили в таком селе, то их потомок, переезжая в город или поступая в семинарию, мог стать Захаркинским — то есть «выходцем из Захаркина». Суффикс -ск- здесь работает как указатель на местность, а не на прямое родство (как было бы в фамилии Захаркин).

Словообразовательная модель прозрачна: Захарка (от древнееврейского Захария — «помнящий Бога») + суффикс принадлежности -ин, затем топонимический суффикс -ск- и окончание -ий. Получается двойная фамильная конструкция, редкая для крестьянской среды, но частая среди духовенства. Похожие примеры — Ивашинский, Петровский, Степановский.

География фамилии неширокая. Захаркинские встречаются в основном в центральных и южных регионах России, а также в Беларуси. В дореволюционных записях носители фамилии чаще всего значатся как мещане или лица духовного звания. Среди дворянства эта фамилия не зафиксирована — слишком «семинарский» у неё облик.

Если ваш предок носил фамилию Захаркинский, с высокой вероятностью он был либо сыном священника, либо человеком, получившим фамилию при обучении в духовном училище. Второй вариант — переселенец из деревни Захаркино, но в этом случае фамилия скорее закрепилась бы в виде Захаркин, без суффикса -ский. Так что духовное происхождение — версия наиболее правдоподобная.