Фамилия Запреметова — женская форма, мужская — Запреметов. Она редкая и по звучанию кажется «говорящей»: что-то про запрет и мету. Но на самом деле в её основе не глагол «запретить», а старинное прозвище или профессия.

Разбираем слово по частям. Корень здесь — «-премёт-», а не «-прет-». В русских говорах «премёт» означало перемёт, то есть рыболовную снасть — верёвку с крючками, которую перекидывали через реку. Человек, который ставил такие снасти или промышлял этим способом ловли, мог получить прозвище Премёт. От него и пошла фамилия. Приставка «за-» в прозвище могла означать «находящийся за перемётом» или «живущий у перемёта» — типичный для русских фамилий пространственный оттенок.

Суффикс «-ов» указывает на принадлежность: Запреметов — сын или потомок Запремета. Такая модель образования — самая распространённая в русской антропонимии, она фиксирует имя или прозвище отца. Ударение, вероятно, падает на третий слог: Запреме́тов.

Есть и другая, менее вероятная версия. В некоторых областях «премёт» могло быть искажением слова «примёт» — то, что приметано, пришито на живую нитку. Тогда прозвище Запремет могли дать портному, который работал наспех, или человеку, носившему плохо пришитую одежду. Но рыболовная версия выглядит убедительнее: она опирается на устойчивую лексику промыслов.

Географически фамилия тяготеет к северным и волжским регионам, где был распространён перемётный лов рыбы. Встречается она редко, в основном в Вологодской, Архангельской областях и на Урале. Сословно предки Запреметовых — скорее всего, крестьяне-рыболовы или промышленники, а не дворяне: фамилия не фиксируется в родословных книгах.

Таким образом, Запреметов — это «рыбацкая» фамилия, образованная от прозвища по занятию. Её носитель в XVI–XVII веках мог быть человеком, который ставил перемёты на реке, а его потомки унаследовали это прозвище как фамилию.