Фамилия Зарутская — женская форма фамилии Зарутский, и её разговорный вариант Заруцкой тоже встречается. С точки зрения словообразования это типичная «географическая» модель на -ский/-цкий: такую фамилию получал человек, владевший или живший в месте с названием Зарутье, Зарута или Зарутск. Похожий принцип мы видим в фамилиях Зарубин, Заруцкий, Зарудин — все они восходят к корню «за-рут-», но у Зарутской суффикс указывает на связь с конкретным топонимом, а не просто на прозвище.

Основа «рут» неоднозначна. Самая вероятная версия — от диалектного «рут» в значении «рыть, копать», то есть Зарутье — место за рвом, за канавой или за выемкой. В северных говорах «рут» также означало «сор, мусор», отсюда прозвище Зарута могли дать человеку, жившему за мусорной кучей или свалкой. Менее убедительна связь с тюркским «рут» («обычай, закон») — для русской фамилии это слишком натянуто, хотя фонетически возможно в южных регионах при контакте с тюркскими языками.

Географически фамилия Зарутская тяготеет к западным областям — Белоруссии, Смоленщине, Псковщине, где топонимы Зарутье встречаются в писцовых книгах XVI–XVII веков. Именно оттуда, скорее всего, и пошёл род. Социально носители фамилии в основном были крестьянами или однодворцами, реже — мещанами, так как дворянские роды с таким окончанием обычно фиксировались в гербовниках, а Зарутских там нет.

Сравнение с однокоренными фамилиями показывает, что Зарутский — более редкий вариант, чем Заруцкий, который мог возникнуть из той же основы, но с чередованием «т/ц» под влиянием украинского или белорусского произношения. Если ваша фамилия записана через «т», это указывает на более архаичную или северную форму, сохранившую исходный согласный.