Фамилия Заставецкая образована по самой распространённой в польской и западнорусской ономастике модели — с суффиксом -цк-/-ск-. Такие фамилии обычно указывали на географическое происхождение: их давали по названию места, откуда человек был родом. Основа здесь — топоним Заставец или Заставка. В славянских языках «застава» — это сторожевой пост, укреплённый пункт на границе, а также заграждение, шлагбаум. Соответственно, Заставец — это небольшое поселение при такой заставе, либо человек, живший «за ставом» (прудом или запрудой). Фамилия Заставецкая означает «та, что родом из Заставца» или «принадлежащая к роду Заставецких».

В отличие от фамилий на -ов/-ин, которые закреплялись за крестьянами и мещанами, -ский/-цкий в Речи Посполитой и на западнорусских землях изначально был признаком шляхты. Но к XIX веку суффикс распространился и среди духовенства, и среди крестьян, особенно после отмены крепостного права, когда многие брали фамилии по названиям деревень. Поэтому носительница фамилии Заставецкая могла быть как потомственной дворянкой, так и дочерью крестьянина из деревни Заставка, записанной по месту жительства.

Интересно, что фамилия встречается в нескольких вариантах: Заставецкий, Заставецкая, Заставский, Заставской. Разница в окончании указывает на род, а в суффиксе — на диалектные или канцелярские особенности записи. Географически фамилия тяготеет к западным регионам: Беларусь, Украина, Польша, а также к бывшим территориям Речи Посполитой. В России Заставецкие — редкая фамилия, и её носители, скорее всего, потомки переселенцев с запада.

Если копнуть глубже, «застава» в древнерусском языке имела ещё одно значение — «задержка», «препятствие». В прозвищной форме Застава могли назвать медлительного или упрямого человека. Но для фамилии Заставецкая эта версия маловероятна: суффикс -ск- почти всегда привязывает фамилию к местности, а не к личному прозвищу. Так что основной и самый надёжный ответ — географическое происхождение от названия поселения при заставе.