Фамилия Затыгина — женская форма, а мужская, соответственно, Затыгин. В основе фамилии лежит не церковное имя, а прозвище, причём довольно редкое по словообразовательной модели. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — сын Затыги. Такая модель типична для северных и центральных областей России, где фамилии на -ин часто образовывались от прозвищ, оканчивающихся на -а, -я.

Само прозвище Затыга, скорее всего, связано с диалектным глаголом «затыкать». В старых говорах «затыгой» могли назвать человека, который постоянно что-то затыкает, засовывает — например, небрежного, неаккуратного, или того, кто любит совать нос в чужие дела. Есть и более конкретная версия: в некоторых регионах «затыгой» называли деревянный клин, затычку, которую вставляли в отверстие, чтобы что-то закрепить. Прозвище мог получить плотник или ремесленник, работавший с деревом, — мастер, который делал такие затычки, или человек, которого за крепкое сложение сравнивали с клином.

В словаре русских фамилий Б. Унбегауна эта модель не разбирается отдельно, но она вписывается в ряд прозвищ от глагольных основ с суффиксом -ыг(а): например, Задира, Забияка. В отличие от более распространённых фамилий от профессий (Кузнецов, Плотников), Затыгин — прозвищная фамилия, которая могла возникнуть в крестьянской среде, где людей «награждали» метким словом за характер или занятие.

Географически фамилия тяготеет к центральным и северным губерниям России. Встречается в старых переписях Вологодской, Костромской и Вятской губерний. В современной России носителей немного, что делает фамилию редкой и локальной. Если ваши предки — Затыгины, стоит искать корни именно в этих регионах, в среде крестьян или ремесленников.