Фамилия Завадский происходит от украинского слова «завада» — «препятствие, преграда». Скорее всего, её дали человеку, который постоянно создавал помехи, мешал другим, или же тому, кто жил за каким-то препятствием — за завалом, за барьером. В польском языке слово «zawada» имеет то же значение, поэтому фамилия одинаково естественна и в украинской, и в польской среде, что отражает её географию: Завадские встречаются и на Украине, и в Польше, и в западных областях России.

Суффикс -ский указывает на дворянское или шляхетское происхождение: в Речи Посполитой и Российской империи такие фамилии часто закреплялись за землевладельцами, но позже распространились и среди других сословий. В отличие от простых «завад» или «завадиных», форма «Завадский» звучала как фамилия гербовой шляхты — например, в польском гербовнике есть род Завадских герба Рогаля.

Среди известных носителей — Пётр Васильевич Завадский (1838–?), украинский революционер, один из организаторов Харьковско-Киевского тайного общества в 1856–1860 годах. Сильвестр Завадский был польским юристом и министром юстиции. Наиболее известен в культуре Юрий Александрович Завадский (1894–1977), российский режиссёр, поставивший «Трактирщицу» Гольдони, «Отелло» Шекспира и «Маскарад» Лермонтова. Его фамилия нередко воспринимается как польская, но корень остаётся тем же — «завада».

Встречается также вариант написания «Завадцкий» — это более старая, диалектная форма, где «дц» передаёт твёрдое произношение. В современном русском языке закрепился вариант с «д», но в польских записях XIX века можно найти обе формы. Если ваши предки носили фамилию Завадский, скорее всего, они происходили из западнорусских земель или бывшей Речи Посполитой, и их прозвище было связано либо с характером (упрямый, «завадистый» человек), либо с местом жительства у какой-то преграды.