Фамилия Завеля — редкая, и это сразу подсказывает, что её происхождение, скорее всего, не связано с массовой моделью образования от крестильных имён. В ней нет привычных суффиксов -ов, -ин, -ский. Перед нами, вероятнее всего, украинская или белорусская фамилия, застывшая в форме глагольной основы.

Если отбросить окончание -я, которое в украинском языке часто служит показателем мягкой основы или фамилий типа «Шевченко» (но в твёрдой форме), мы получаем корень «завел-». Самый прямой путь — от глагола «завести». В старом просторечии «завеля» могло означать «завёл», «привёл», «затащил». Так могли прозвать человека, который привёл в село невесту из чужой деревни, пригнал табун лошадей или, в переносном смысле, был зачинщиком, «заводилой» в каком-то деле. Прозвище «Завеля» давали тому, кто что-то или кого-то «завёл» — от скота до ссоры.

Вторая версия, не менее правдоподобная, отсылает к диалектному слову «завель» или «завеля» — так в некоторых западных говорах (польских, белорусских) называли завядшее растение, сухостой, а иногда и вялого, медлительного человека. В таком случае фамилия несёт описательный, а не событийный смысл: предок мог получить это прозвище за внешность или характер.

Интересная деталь: фамилия Завеля встречается в основном на западе Украины (Львовская, Тернопольская области) и в южной Беларуси. Это зона влияния польского языка, где глагольные фамилии без суффиксов — не редкость (сравните: Заблоцкий, Залевский). Однако Завеля стоит особняком: она не перешла в форму на -ский, а сохранила народное, «мужицкое» звучание. Это говорит о том, что предки носителя не принадлежали к шляхте, а были крестьянами или ремесленниками, чьё прозвище просто закрепилось в документах как есть.

Сравните с однокоренными фамилиями: Завельский (явно топонимическая, от названия села), Заведеев (от имени Завед), Заводин (от «завод»). Завеля — более архаичная форма, прямое прозвище.