Фамилия Заверика звучит необычно для русского уха — и это подсказка. Скорее всего, перед нами украинская или белорусская фамилия, образованная по модели, характерной для западнорусских земель. Основа здесь — «заверика», что в диалектах могло означать нечто вроде «заверюка», «завируха» — то есть метель, вьюга, непогода. В украинском языке есть слово «завірюха» с тем же значением. Человек мог получить такое прозвище за беспокойный, порывистый характер, похожий на стихию, или за то, что родился в ненастную погоду.

Суффикс -ик-а — редкая словообразовательная модель для фамилий. Обычно в украинских и белорусских фамилиях встречаются суффиксы -ук, -юк, -енко, -ович. Здесь же окончание -а указывает на возможное происхождение от прозвища в форме женского рода, что нередко бывало, когда прозвище закреплялось за человеком в неизменном виде (как, скажем, фамилия Ворона или Сорока). То есть Заверика — это не «чей-то сын», а сам носитель прозвища.

Другая, менее вероятная версия — связь с глаголом «заверить» (удостоверить). Тогда прозвище могло относиться к писарю или подьячему, который ставил печати и подписи. Но фонетически это менее убедительно: ударение в фамилии, судя по произношению, падает на второй слог (Заве́рика), а в слове «заверить» — на третий. Смещение ударения возможно, но в разговорной речи такие фамилии обычно сохраняют ударение исходного слова.

Географически фамилия Заверика встречается преимущественно на западе Украины и в юго-западных областях Беларуси — там, где диалектное слово «завіруха» было в ходу. В России она редка и чаще всего фиксируется у потомков переселенцев из этих регионов. Сословной привязки нет: прозвище могли дать и крестьянину, и казаку, и мещанину — в зависимости от того, где жил человек.

Если сравнивать с однокоренными фамилиями, то в том же ареале встречаются Завирюха, Завируха, Заверига. Форма Заверика — более редкий вариант, возможно, возникший из-за местного произношения (замена «ю» на «е» или редукция гласных). В словарях украинских фамилий (например, в работах Ю. Редько) эта фамилия не упоминается как распространённая, что подтверждает её локальный характер.