Фамилия Завиленская — женская форма фамилии Завиленский, и её разумнее всего рассматривать в паре. В отличие от большинства русских фамилий на -ский, которые образованы от географических названий (сел, городов, усадеб), эта фамилия почти наверняка связана с Вильно — историческим названием Вильнюса. Приставка «за-» в таких фамилиях указывала на расположение: «тот, кто живёт за Вильно» или «родом из-за Вильно». То есть предок носителя фамилии был либо выходцем из окрестностей этого города (с литовской или белорусской стороны), либо его прозвище закрепилось за ним после переселения на новое место — например, в центральную Россию, где «завиленский» означало «прибывший со стороны Вильно».

Словообразовательная модель прозрачна: основа «Завилен-» (от «за Вильно») плюс типичный для польской и западнорусской шляхты суффикс -ск(ий). Такие фамилии активно формировались в Речи Посполитой среди православной и униатской знати, а после разделов Польши перешли в российскую сословную систему. При этом фамилия Завиленская (Завиленский) не встречается в массовых списках дворянских родов — скорее всего, её носители относились к мелкопоместной шляхте или однодворцам, которые сохраняли память о своём происхождении из литовско-белорусских земель.

Вторая, менее вероятная версия — искусственное происхождение. В XIX веке семинаристы иногда получали фамилии по названиям монастырей или церквей, но «завиленского» храма не существовало. Если же отталкиваться от корня «вила» (в значении «вить, плести»), то фамилия могла бы означать «живущий за плетнём», но это натяжка: географическая привязка к Вильно выглядит убедительнее и подтверждается типичной для западных губерний моделью.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В современных российских базах Завиленская — единичный случай, чаще она фиксируется в Беларуси и на Украине, что косвенно подтверждает её западнорусское происхождение. Если ваш предок носил эту фамилию, стоит искать корни в бывших Виленской, Гродненской или Минской губерниях — среди шляхты, которая после восстаний 1830–1863 годов могла быть переселена или сослана вглубь империи.