Фамилия Здышков — редкая и неочевидная для поверхностного взгляда. Её основа не встречается в частотных списках русских прозвищ или имён, а суффикс указывает на определённую модель образования, которая сужает круг возможных версий.

Словообразовательный разбор сразу даёт ключ: суффикс -ов типичен для русских фамилий, образованных от отчества или прозвища отца. Основой здесь выступает слово здышк- (или здышок). В говорах русского языка, особенно в юго-западных и белорусских, слово «зды́шок» означало «вздох», «одышка», а также «короткий отдых», «передышка». Прозвище Здышок могли дать человеку с заметной одышкой — тучному, больному или просто тому, кто часто и тяжело вздыхал. В переносном смысле так могли назвать медлительного, «тяжелого на подъём» человека.

Вторая, менее вероятная, версия связывает основу с диалектным глаголом «зды́хать» (вздыхать, отдыхать). Тогда прозвище Здышок могло закрепиться за крестьянином, который часто делал паузы в работе, или за человеком с характерной привычкой глубоко вздыхать. В любом случае, исходное слово — не книжное, а живое, народное, из бытовой лексики.

Географически фамилия Здышков тяготеет к западу России: её можно встретить в Брянской, Смоленской областях, а также в Беларуси. Именно в этих регионах слово «здышок» сохранялось в речи дольше всего. Социальный контекст — крестьянская среда, где прозвища давались по внешним признакам или особенностям поведения, без намёка на сословную принадлежность.

Интересная деталь: фамилия Здышков — редкий случай, когда основа не имеет параллелей в стандартных святцах или тюркских заимствованиях. Это чисто восточнославянское прозвище, не замутнённое поздними книжными влияниями. Если ваш предок носил такую фамилию, он почти наверняка был крестьянином из западных губерний, а прозвище досталось ему от человека, которого окружающие запомнили по тяжёлому дыханию или привычке останавливаться передохнуть.