Фамилия Зелюткин — редкая и неочевидная с точки зрения происхождения. Чтобы понять её корень, нужно отбросить суффикс -ин, который указывает на принадлежность: «чей?» — Зелюткина, то есть сын или потомок человека по прозвищу Зелютка. Самое прозрачное объяснение лежит в диалектной лексике. В русских говорах, особенно на севере и в Сибири, словом «зелю́тка» называли зеленушку — птицу семейства вьюрковых, либо просто что-то зелёное, недозрелое. Прозвище Зелютка могли дать человеку со светлыми, зеленоватыми глазами, либо тому, кто носил зелёную одежду, либо, в переносном смысле, молодому, неопытному парню — «зелёному».

Однако есть и вторая, более глубокая версия, связанная с календарным именем. В основе могло лежать имя Зелютка как производная форма от крестильного имени Зосима (в просторечии — Зосим, Зеля). Уменьшительные формы вроде Зеля, Зелютка были распространены в крестьянской среде. Фамилия Зелюткин тогда означала бы «сын Зелютки», то есть потомок Зосимы. Суффикс -утк- (как в Марутка, Ванютка) характерен для ласкательных или бытовых форм имён, что делает эту версию правдоподобной для центральных и южных губерний.

Географически фамилия встречается рассеянно, без ярко выраженного гнезда, что типично для поздних фамилий, образованных от прозвищ. Встречаются варианты написания через «и» — Зилюткин, что может указывать на акающее произношение или путаницу с другим корнем (например, от глагола «зилить» — лить, цедить, но это уже экзотика).

Сословно носители фамилии — почти наверняка крестьяне или мещане. Фамилии на -ин в массе своей принадлежали именно податным сословиям. Дворянских родов Зелюткиных в истории не зафиксировано.

Таким образом, скорее всего, предок современного Зелюткина был либо человеком с прозвищем Зелютка (по цвету глаз или характеру), либо носителем народной формы имени Зосима. Разобраться точнее помогла бы региональная привязка: в северных говорах вероятнее прозвищное происхождение, в центральных — именное.