Фамилия Жайковская звучит как типичная «географическая» фамилия, образованная по модели «название места + -ский/-ская». Такие фамилии в старину получали дворяне по названию своего поместья, а в более позднее время — выходцы из сёл и местечек, поступавшие в духовные училища или переезжавшие в город. В основе фамилии лежит топоним Жайково или Жайков. Скорее всего, это название села или хутора, а корнем могло стать либо прозвище Жайко (от диалектного «жайкать» — говорить с характерным звуком, либо от старорусского «жаять» — желать, жаждать), либо тюркское имя Жайык (так по-казахски называется река Урал). В любом случае, первый носитель фамилии был либо помещиком из Жайково, либо семинаристом, которому дали фамилию по месту рождения.

Сама модель на -ская, а не на -ова, указывает на то, что фамилия не крестьянская в классическом понимании. В XIX веке такие окончания часто присваивали в духовных академиях и семинариях, а также в среде мелкопоместного дворянства. Если Жайковская — это бывшая дворянская фамилия, то её родоначальник владел землёй с названием Жайково. Если же фамилия семинарская, то её дали по названию родного села ученика, чтобы отличить его от однофамильцев.

В польской и украинской традиции фамилии на -ский тоже очень распространены, и Жайковская могла возникнуть в Речи Посполитой, где было много местечек с похожими названиями. В таком случае корень мог быть связан с польским «żajka» (чайка) или личным именем Żajko. Спорный момент: некоторые этимологи возводят основу к слову «жайка» — так в некоторых говорах называли птицу, но это менее вероятно, так как фамилии от названий птиц обычно имеют суффикс -ов/-ин (Жайкин, Жайков).

Однокоренные фамилии — Жайков, Жайкин, Жайкович. Все они редкие, сконцентрированы в основном на территории Беларуси, Смоленской области и Западной Украины. Если ваша фамилия именно Жайковская, а не Жайковская с ударением на первый слог (что тоже встречается), то её носители, скорее всего, происходят из семьи, имевшей отношение к церкви или мелкопоместному дворянству, а не к крестьянству.