Фамилия Живайкин образована от прозвища Живайка. Слово «живайка» в старых русских говорах могло означать «жилец» — то есть человек, который живёт не в своём доме, а на чужой земле, например, у помещика или в лесной сторожке. Отсюда идёт первая версия: Живайкой могли назвать сына лесника, знахаря или лекаря, который жил при барине или при общине. Но не исключено и другое объяснение: прозвище мог получить просто деятельный, полный жизненной энергии человек — «живой», «живчик». В этом случае фамилия указывает не на род занятий, а на характер предка.

Словообразовательная модель здесь прозрачная: суффикс -ин образует притяжательную форму, отвечающую на вопрос «чей?». Живайкин — значит «сын Живайки». Это типичная для северных и центральных русских регионов модель: фамилии на -ин чаще встречаются там, где в быту активно использовали краткие формы имён и прозвищ с окончанием -а/-я.

Интересно, что фамилия Живайкин — редкая. Она не входит в списки массовых русских фамилий, и её география довольно узкая. Основные очаги бытования — Поволжье, особенно Самарская и Ульяновская области, а также некоторые районы Нижегородчины. Это наводит на мысль, что фамилия могла возникнуть в среде государственных или экономических крестьян, а не в помещичьих имениях: в таких местах прозвища часто закреплялись за целыми семьями и передавались по наследству без изменений.

В ономастических словарях фамилия не упоминается среди самых известных, но её основа встречается в других однокоренных фамилиях: Живайлов, Живагин, Живаев. Все они восходят к тому же корню — «жив-», связанному с жизнью, здоровьем, подвижностью. Таким образом, Живайкин — это фамилия-характеристика, которая либо описывала живого, бойкого человека, либо указывала на его «жилую» роль в чужом хозяйстве. Какая из версий верна для вашего конкретного предка — без архивных записей сказать трудно, но обе они укладываются в логику русской прозвищной традиции.