Фамилия Зверьким — редкий случай, когда написание сбивает с толку даже носителей языка. Скорее всего, перед нами не стандартная «Зверьков», а вариант фамилии, застывший в форме творительного падежа множественного числа. Такое встречается у фамилий на -их/-ых: Зверьких, Зверьким. Если человек говорит «я у Зверьких», то в именительном падеже фамилия должна звучать как Зверьких или Зверьким (второе — усеченная форма, характерная для говоров). Но гораздо вероятнее, что это просто искажение записи в документах, и правильная форма — Зверьков.

Корень здесь очевиден — «зверь». В основе прозвище Зверь. В Древней Руси так могли назвать человека не обязательно за жестокость. Скорее за внешнее сходство: косматый, молчаливый, с диковатым взглядом или живущий в лесу, подальше от людей. Иногда «зверем» называли охотника, промышлявшего пушнину, — промысел был опасным и требовал выносливости.

Модель образования простая: прозвище Зверь + патронимический суффикс -к(а) (уменьшительная или уничижительная форма) + -ов. Получается Зверьков — «сын Зверька». Фамилия Зверьков довольно старая: в боярских списках XVI века упоминается Зверь, крестьянин из новгородских земель. Но если ваша фамилия именно Зверьким, а не Зверьков, это может быть реликтом северорусской или сибирской традиции, где фамилии на -их/-ых (Зверьких) фиксировали принадлежность к роду: «из дома Зверьких». Со временем окончание могло стянуться до -им.

Встречается фамилия Зверьков (и её варианты) в основном в центральных областях России и на Урале. Носителей с написанием Зверьким крайне мало — это либо описка, либо локальный диалектный след. Точных данных о сословной принадлежности предков нет: Зверьками могли быть и крестьяне, и казаки, и посадские.