Фамилия Зверько — украинская по происхождению, что видно сразу по суффиксу -ко. В украинской ономастике этот суффикс — один из самых распространённых: он превращал прозвище или имя в фамилию, часто с оттенком уменьшительности или принадлежности (буквально: «маленький зверь» или «сын Зверя»). В русском языке аналогом был бы суффикс -ов/-ев, но украинская модель оказалась компактнее и экспрессивнее.

Основа фамилии — слово «зверь». В древнерусском языке «зверь» означало не только дикое животное, но и, в переносном смысле, человека свирепого, необузданного, либо, наоборот, хитрого и ловкого. Прозвище Зверь мог получить кто угодно: охотник, удачливый в промысле, человек с тяжёлым характером, или даже тот, кто внешне напоминал зверя — например, был космат или силён. Нередко такие прозвища давали и в насмешку, и с уважением.

Интересная деталь: фамилия Зверько встречается почти исключительно на западе и в центре Украины — в Волынской, Ровенской, Житомирской областях. Это сужает круг возможных предков: скорее всего, это были крестьяне или казаки из этих регионов. В России фамилия редка, и если встречается, то почти всегда у потомков переселенцев с Украины.

В отличие от фамилий вроде Зверев (русская модель) или Зверинский (польско-дворянская), Зверько — фамилия демократичная, без сословной окраски. Суффикс -ко в XVII–XVIII веках активно использовали в среде запорожского казачества и мещан, так что носитель фамилии мог быть и реестровым казаком, и простым крестьянином.

Споров вокруг этимологии почти нет: все исследователи сходятся на прозвищной основе. Единственная альтернативная версия — что прозвище дали человеку, который разводил или продавал зверей (например, скомороху с медведем), — но она менее вероятна, так как на Украине такие занятия редко закреплялись в фамилиях с суффиксом -ко.