Фамилия Зверко образована по одной из самых распространённых в украинской, белорусской и западнорусской ономастике моделей — с помощью уменьшительно-патронимического суффикса -ко. Этот суффикс (как и более привычный для русского уха -ов/-ев) указывал на родство: Зверко — буквально «сын Зверя» или «маленький Зверь». Сама основа, прозвище Зверь, в старину была не редкостью.

Почему человека могли назвать Зверем? Первая и самая очевидная версия — по характеру. В народе так могли прозвать «своенравного, строптивого, дикого» человека, а также хитреца. При этом в некоторых говорах, наоборот, «зверем» называли энергичного, быстрого в работе мужика — то есть прозвище могло нести и положительный оттенок, подчёркивая силу и хватку. Внешность тоже могла сыграть роль: густая растительность на лице, суровый взгляд.

Вторая версия — профессиональная. Прозвище Зверь могли дать охотнику. Для человека, чей промысел был связан с лесом и добычей пушнины, такое именование было естественным и понятным окружающим.

Фамилия фиксируется в исторических источниках. В «Ономастиконе» академика С. Б. Веселовского упомянуты Василий Семенович Зверь Кутузов (первая половина XVI века) и судья Владимир Гаврилович Зверев (рубеж XV–XVI веков). Эти записи подтверждают, что прозвище бытовало в среде служилых людей и знати задолго до закрепления фамилий.

Географически фамилия Зверко тяготеет к западным и юго-западным регионам бывшей Российской империи — в первую очередь к Украине и Белоруссии. Форма на -ко здесь преобладала над русским -ов, поэтому носителей фамилии стоит искать среди потомков казаков, мещан и крестьян этих земель. В отличие от распространённой фамилии Зверев, Зверко — более редкий вариант, сохранивший архаичную словообразовательную модель.